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3. Klasse (Stoffplan 11. Schuljahr)


Themen / Fachwörter Beispiele / Formeln

Folgen und Reihen

Ein Lehrstück: Achilles und die Schildkröte



Arithmetische Folge:

Arithmetische Reihe:

Geometrische Folge:

Geometrische Reihe:

Grenzwerte von Folgen und Reihen

Arithmetische Folge: an = a1 + d · (n-1)
Die Folgeglieder liegen auf einer Trägergeraden

Arithmetishe Reihe:

Geometrische Folge: an = a1 · q (n-1)
Exponentialfunktion als Trägerkurve


Geometrische Reihe (Partialsumme oder unendliche Reihe):

Grenzwerte von Funktionen

x -> x0
x -> unendlich
= ? ? ?

Taschenrechner TI30x pro

TI30X-pro-Arbeitsblaetter.pdf
Löse S. 8 - 15 (LFkt, M.F., qFkt, Wrzl, expWachstum
Löse S. 34 - 40 (Vgeo, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, LGS )
Löse S. 49, 50, 54, 55, 62 ( BinVert, N.Vert)

DIFFERENTIALRECHNUNG




Grundfrage: Wie gross ist die Steigung einer Funktion, die eine 'gekrümmte Kurve' hat ?

Die Steigung einer krummen Kurve kann an jedem Punkt verschieden sein.
Die Steigung nennt man auch 'Ableitung'

Berechnungn der Steigung mit dem Differenzenquotienten

Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist die Steigung
(man nennt den Grenzwert manchmal auch 'Differenzialquotient')


Die Tangente an einem Kurvenpunkt hat dieselbe Steigung wie die Kurve an diesem Punkt.


Die Steigung ist wie folgt definiert:


Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist die Steigung an dem gewünschten Kurvenpunkt mit dem x-Wert x 0
d.h. im Punkt P[x 0 / f(x 0) ] hat die Tangente diese Steigung.
Die erste Ableitungsregel


Potenzregel

Summenregel

Faktorregel
f(x) = a·xn 

f ' (x) = n·a·xn-1

Kombination von Funktionen


Summe
Produkt
Quotient
Verkettung

Wiederholung: Umkehrfunktionen, Log - und Exponentialfunktion


Beispiel:
Gegeben ist: f(x) = x2    und   g(x) = x - 3

f(x) + g(x) = x2 + (x-3)
f(x) · g(x) = (x2) · (x-3)
f(x) : g(x) = (x2) : (x-3)
f[ g(x)] = (x-3)2
g[ f(x)] = x2 -3
Die Ableitungsregeln

Summenregel

Produktregel

Quotientenregel

Kettenregel

Quotientenregel:



Kettenregel: Innere Ableitung mal äussere Ableitung


Ableiten von speziellen Funktionen

Additionstheoreme herleiten und Ableiten von f(x) = sin(x) und f(x)=cos(x)

Implizites Ableiten:
f(x) = arcsin(x)      f'(x)= 1/(1-x2)^0.5
g(x) = arccos(x)     g'(x)= -1/(1-x2)^0.5

Ableiten von:
h(x)= ex      h'(x)= ex
i(x)= ln(x)      i'(x)= 1/x
j(x)= 2x      j'(x)=ln(2)·2x

Die Bedeutung der zweiten Ableitung: HOP, TIP, WEP,
Asymptoten,
Kurvendiskussionen


Datei: Asymptoten.mp4

 
Datei: Kurvendisk-gebr-ratFkt.mp4

 


Extremwertprobleme

Aufstellen der Zielfunktion mit Hilfe der Nebenbedingungen

Einfaches Beispiel: Aus einem 1 m langen Draht soll ein Rechteck mit möglichst grosser Fläche geformt werden.



V-GEO : ABSTÄNDE, Spiegelungen


Übung und Weiterführung:
  1. Punkt - Ebene  (mit HNF)
  2. Punkt - Gerade
    (mit senkrechter Projektion)
    oder mit Fläche Parallelogramm, oder mit Konstruktion Hilfsebene 
  3. Abstand windschiefer Geraden
    (mit HNF oder Spatprodukt V / F = h)



Einführung der Integralrechnung

[ ca. 8 Lektionen ]


Integrieren ist die Umkehrfunktion zum Ableiten

Unbestimmtes Integral

Bestimmtes Integral

Hauptsatz

Flächenberechungen

Unbestimmtes Integral hat keine Grenzen


Hauptsatz der Integralrechnung (HDI):


Repetitionen  
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