Quadratische Gleichungen



Herzlich willkommen zum Lernmodul für quadratische Gleichungen



Einführung: Die Voraussetzungen für dieses Lernmodul sind Linerare Funktionen auflösen zu können, die drei Binomischen Formeln zu kennen und mit Wurzeln und quadratischen Zahlen umgehen können. Nicht jede quadratische Gleichung lässt sich wie eine lineare Gleichung nach der Unbekannten auflösen. Wenn man eine quadratische Gleichung nicht faktorisieren oder nicht in einen Binom umwandeln kann, kann man die Gleichung meistens nicht auflösen. Aus diesem Grund gibt es die Quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel, mit welcher man jede qadratische Gleichung nach der Unbekannten auflösen kann.
Die quadratische Ergänzung




   :3  Der erste Schritt ist den gesamten Term durch 3 teilen. Damit das 3x2 nur noch 1x2 = x2ist.
   +2  Der zweite Schritt ist, dass nur noch die Unbekannten auf einer Seite sind.
     Nun haben wir die Gleichung auf die Grundstellung gebracht. Jetzt beginnt die Quadratische Ergänzung.
     Der erste Schritt ist es nun, auf beiden Seiten zu rechnen. Der Grund ist, dass man schlussendlich einen Binom erhält, von welchem man dann die Wurzel ziehen kann und so nach der Unbekannten x auflöst. Die Binomische lautet a2-2ab+b2.
In diesem Fall ist das das "b". Man muss also den Nenner verdoppeln, da die gesamte Zahl dann zweimal kleiner ist. Wenn man im Binom dann "2ab" rechnet, ist es wieder

   Term Umformung zum Binom auf der linken Seite des Gleichheitszeichen und zusammenfassen der Summanden auf der rechten Seite.  Aus diesem Term kann man jetzt einem Binom machen. Man benötigt die zweite Binomische Formel, die lautet (a-b)2=a2- 2ab+b2 Wenn wir nun für a=x und für b=7/6 einsetzen, können wir die Binomische Formel wieder in der Grundform schreiben. Damit ist zwischen den Klammern kein x2 mehr sondern nur noch x. Doch die Klammern müssen dann hoch 2 gerechnet werden.
     Nun ziehe ich die Wurzel des Terms und haben somit alle Quadrate weg und kann dann nach x auflösen.
     Nach x auflösen
   Beide Lösungen ausrechnen  Nun hat man die Quadratische Gleichung nach der Unbekannten X aufgelöst. Doch da wir die Wurzel gezogen haben, kann diese + oder - sein.
     Nun hat man die beiden Lösungen zu der Quadratischen Gleichung, ausgerechnet mit der Quadratischen Ergänzung.



Im normalfall gibt es bei quadratischen Gleichungen immer zwei Lösungen. Doch falls die Zahl unter der der Wurzel (Diskriminante) negativ ist, gibt es keine Lösung, weil man von einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.
Im Falle dass die Diskriminante 0 ist, gibt es nur eine Lösung, denn die Wurzel von 0 ist =0 und somit rechnet man dann +/- 0 und das gibt zweimal die selbe Lösung.
Es gibt also nur zwei Lösungen wenn die Diskriminante positiv ist.




Aufgabe 1:Löse nun die quadratische Gleichung mit der quadratischen Ergänzung nach der Unbekannten x auf. Beachte, dass in der Lösung möglicherweise auch eine Wurzel vorhanden sein kann. Im Falle dass dies zutrift, kürze die Diskriminante so weit wie möglich und lass die Lösung als vollständig gekürzten Bruch stehen.
Lösung 1



Aufgabe 2:Löse die folgende Aufgabe nach x auf.

Lösung 2




Aufgabe 3: Löse die folgende Aufgabe nach x auf.

Lösung 3






Die Mitternachtsformel




   -c  Die ist eine allgemeine quadratische Gleichung.
   *4a  Man rechnet *4, dass es dann 4a2x2 und man das dann ausklammern kann.
   +b2  +b2rechnet man um den Term dann zur 1. binomischen Formel umzuwandeln.
    TU  
  1. Binomische Formel  
     Von einer Addition oder in diesem Fall einer Subtraktion,
kann man die Wurzel nicht einzeln ziehen.
   -b  
   :2a  
     Da es vor der Wurzel ein ± hat gibt es im Normalfall zwei Lösungen.
Deshalb ist es x1,2
     Mit dieser Formel, der Mitternachtsformel, kann man nun jede beliebige Unbekannte herausfinden.
Man nennt sie auch Mitternachtsformel, weil man sie mitten in der Nacht auch kennen sollte.



Bei der Mitternachtsformel gelten die selben Regeln wie bei der quadratischen Ergänzung. Wenn die Diskriminante =0 ist, gibt es nur eine Lösung. Wenn sie negativ, also kleiner als 0 ist gibt es gar keine Lösung. Solange sie über 0 ist gibt es immer zwei verschiedene Lösungen.




Praktische Anwendung


Man setzt in die
Mitternachtsformel ein: a=1, b=6, c=2
Um diese quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel zu lösen,
muss man die verschiedenen Werte in die Formel einsetzen.
Die Zahl nach welcher die quadratische Unbekannte folgt, ist immer das "a".
Die Zahl welche vor der unbekannten ohne Quadrat ist, ist immer das "b" und die Zahl ohne eine Unbekannte ist immer das "c".
Alles zusammenfassen
Ausklammern von Eine Wurzel kann man vereinfachen, indem man eine Quadratzahl ausklammert.
TU
2 ausklammern
kürzen
nach x1,2 auflösen
Nun hat man die beiden Lösungen für die quadratische Gleichung.



Mitternachtsformel Aufgabe 1: Löse die folgende quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel nach der unbekannten x auf.

Lösung1



Mitternachtsformel Aufgabe 2: Löse die folgende Gleichung nach der Unbekannten auf.

Lösung2



Mitternachtsformel Aufgabe 3: Löse die folgene Gleichung nach der Unbekannten auf.

Lösung 3





Substitution


Die Substitution ist die Methode um Gleichungen höheren Grades (z.B. x4,x6) zu berechnen. Zur Anwendung:


x2=z
Für die Unbekannte setzt man einen anderen Buchstaben ein, welcher das x4 ersetzen soll.
In Mitternachtsformel einsetzen.
TU
Nach z1,2 auflösen
ziehen
ziehen
Mit erweitern, dass im Nenner keine Wurzel steht.
Dies ist keine Lösung da man von einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.



Substitution Aufgabe 1: Löse die Gleichung mit Hilfe der Substitution.

Lösung 1




Nun solltest du fähig sein, jede belibige quadratische Gleichung und auch solche höheren Grades ausrechnen zu können. Merke dir aber, dass wenn die Diskriminante:




Um die Mitternachtsformel noch einmal zu wiederholen und um sie sich noch besser einprägen zu können, noch ein Video: Video zur Mitternachtsformel [Autor: DorFuchs, Quelle: Youtube]






Rückmeldung



Von: Nicolas Feller, 2014/2015, M2b