Hier ein Beispiel, welches immer wieder auf geistigen Widerstand stösst:
Nehmen wir an, in eine Regentonne mit 100 Liter Volumen wird jede Stunde etwas Wasser gelassen. Zuerst 1 Liter, dann 1/2 Liter dann 1/4 , 1/8 Liter und so weiter ...
Wird diese Fass irgendwann überlaufen ?
Nehmen wir nun an, in ein zweites Fass wird wieder jede Stunde etwas Wasser hineingelassen.
In der ersten Stunde 1 Liter, dann 1/2 Liter, dann 1/3, 1/4 , 1/5 Liter und so weiter ...
Wird diese Fass irgendwann überlaufen ?
Die meisten Menschen sagen ja, es wird überlaufen, denn es kommt ja immer etwas hinzu.
Hintergrund
Wir betrachten in aller Ruhe folgende zwei Zahlen-Reihen
a) Eine konvergente Reihe
und b): Die harmonische Reihe
Diese Reihen gehen unendlich so weiter.
Man erkennt, dass immer ein winziges Stückchen dazugezählt wird.
Es stellen sich (nach einer Zeit des Nachdenkens) folgende Fragen :
1 Was ist das Resultat, wenn wir die ersten 10 (100) Folgeglieder addieren ?
Diese Frage kann uns der Rechner schnell beantworten : (vgl. Rechnung )
2 Was ist das Ergebnis, wenn wir alle Folgeglieder zusammenzählen ?
Wird das Ergebnis irgendwann einmal grösser als 1000 (10'000) sein ?
Wächst das Ergebnis unendlich ?
Und hier ist nun jederComputer überfordert.
Aber ... der menschliche Geist hat eine Lösung gefunden.
(Vielleicht desshalb, weil auch der Geist unendlich ist?)
Wir erkennen :
Die Reihe a) wird nie grösser als 2
Die Reihe b) hingegen steigt unendlich weiter.
Bei n = 300'000 ergibt die Summe zwar erst 13.1887 ... usw
aber man kann beweisen, dass die Summe unendlich gross wird.
Hier die Beweise, die geschickt mit Unendlichkeit umgehen:
Zur Konvergenz der Reihe a) :
Zur Divergenz der Reihe b) :
Somit ist klar, dass die Reihe a) nie grösser wird als 2
Während die Reihe b) bis ins Unendliche wächst.
Es gibt also feine Abstufungen, wann ein Prozess ins Unendliche wächst und wann nicht.
Folgefragen sind :
Gibt es Analogien in unserer Lebenswelt ?
Ist die Zeit unendlich ?
Ist der Raum unendlich ?
Gibt es unendliches Wachstum in unserer Welt? Meine Antwort: ja, mit Grenzwert.
Gibt es unbegrenztes Wachstum in unserer Welt? Meine Antwort: Ich bin überzeugt, dass es ständig (unbegrenzt) ein qualitatives Wachstum geben kann und soll. Nicht jedoch ein quantitatives Wachstum. Eine Balance unseres gesamten Lebenssystems ist nötig.
Vgl. Raum-Zeit , Einstein.
