Prüfe Dich auf geistigen Widerstand

Es folgt eine Spielerei mit einer Unendlichkeit

Hier ein Beispiel, welches immer wieder auf geistigen Widerstand stösst:
  
Nehmen wir an, in eine Regentonne mit 100 Liter Volumen wird jede Stunde etwas Wasser gelassen.
Zuerst 1 Liter, dann 1/2 Liter dann 1/4 , 1/8 Liter und so weiter ...
Wird diese Fass irgendwann überlaufen ?     

Nehmen wir nun an, in ein zweites Fass wird wieder jede Stunde etwas Wasser hineingelassen. In der ersten Stunde 1 Liter, dann 1/2 Liter, dann 1/3, 1/4 , 1/5 Liter und so weiter ...
Wird diese Fass irgendwann überlaufen ?     

Die meisten Menschen sagen ja, es wird überlaufen, denn es kommt ja immer etwas hinzu.




Hintergrund

Wir betrachten in aller Ruhe folgende zwei Zahlen-Reihen
a) Eine konvergente Reihe

und b): Die harmonische Reihe


Diese Reihen gehen unendlich so weiter.
Man erkennt, dass immer ein winziges Stückchen dazugezählt wird.

Es stellen sich (nach einer Zeit des Nachdenkens) folgende Fragen :

1 Was ist das Resultat, wenn wir die ersten 10 (100) Folgeglieder addieren ?
Diese Frage kann uns der Rechner schnell beantworten : (vgl. Rechnung )



bis zum -ten Folgeglied :  Summe = 



bis zum -ten Folgeglied :  Summe = 




2 Was ist das Ergebnis, wenn wir alle Folgeglieder zusammenzählen ?

Wird das Ergebnis irgendwann einmal grösser als 1000 (10'000) sein ?
Wächst das Ergebnis unendlich ?

Und hier ist nun jederComputer überfordert.

Aber ... der menschliche Geist hat eine Lösung gefunden. (Vielleicht desshalb, weil auch der Geist unendlich ist?)

Wir erkennen :
Die Reihe a) wird nie grösser als 2
Die Reihe b) hingegen steigt unendlich weiter.
Bei n = 300'000 ergibt die Summe zwar erst 13.1887 ... usw aber man kann beweisen, dass die Summe unendlich gross wird.



Hier die Beweise, die geschickt mit Unendlichkeit umgehen:
Zur Konvergenz der Reihe a) :


Zur Divergenz der Reihe b) :


Somit ist klar, dass die Reihe a) nie grösser wird als 2

Während die Reihe b) bis ins Unendliche wächst.


Es gibt also feine Abstufungen, wann ein Prozess ins Unendliche wächst und wann nicht.

Folgefragen sind :

Gibt es Analogien in unserer Lebenswelt ?
Ist die Zeit unendlich ?
Ist der Raum unendlich ?

Gibt es unendliches Wachstum in unserer Welt? Meine Antwort: ja, mit Grenzwert.
Gibt es unbegrenztes Wachstum in unserer Welt? Meine Antwort: Ich bin überzeugt, dass es ständig (unbegrenzt) ein qualitatives Wachstum geben kann und soll. Nicht jedoch ein quantitatives Wachstum. Eine Balance unseres gesamten Lebenssystems ist nötig. Vgl. Raum-Zeit , Einstein.